92.皇冠与明珠
数论从初中后就没接触了，还是高一，大部分学生看不懂黑板上教练在写什么，但是正因为看不懂，才不明觉厉，几步就搞定这种题目，怎么想都是神仙才有的操作。 明明很复杂的问题，可以用简单的过程解答出来。这是人类思维的力量，就是这样不可思议。 当然了，也是因为这些学生没学过欧拉定理，不懂怎么算出来答案，才觉得李轩和教练这些能算这种题目的是神仙，学过之后就会感觉很简单，我上我也行，所谓神仙不过是早学了点而已。 然后经过这道题，李轩就发现身边大多数同学才数论刚入门，原来数学竞赛组的同学许多都做出了这道题，肯定是有看过数论相关书籍，但看这些同学在朝阳杯的表现，并不能算数论高手。 说到数论高手，他自然就想起了欧阳哲。 听说上次遇到的国家集训队选手欧阳哲，就是最极为擅长数论的天才，能解答CMO联赛的数论题，这种欧拉定理基础题，口算就能搞定。 在华夏，高中生向来在几何和代数极强，对于数论和组合不是很擅长，数论天才很吃香的，同样组合天才更是少之又少。 而坐在第一排，乔思菱发现她完全看不懂教练在写什么，举起手，虚心求教：“教练，欧拉定理是什么？” 林雪芮笑了笑，乔思菱好奇的眼神让她想起了她初学数论时候样子，她边说边在讲台写： “在数论和几何都有欧拉定理。数论中欧拉定理是：若n，a为正整数，且n，a互质，a^φ（n）≡1(modn)。” “这里φ（n）叫欧拉函数，是小于n，且和n互质的正整数个数。 “如φ(8)=4，因为1，3，5，7有4正整数，和8互质。” “所以呢，一般有，3^4≡1(mod8)” “这道题，求3^83除于100的余数。” “由欧拉定理，3^φ（100）≡1(mod100)。φ（100）=40，1，3，7，9……共40数和100互质。” “3^40≡1(mod100)。” “换言之，3^80≡1(mod100)。” “3^83≡3^80x3^3≡1x3^3≡27（mod100）。” …… 乔思菱抿了抿嘴，默默将板书抄了下来。 李轩没动笔，欧拉定理他很早前就自学过，闭着眼都能写出来。但他看到黑板上这些式子，发现一件事，这些真正的高手写数学题来，如果不跳步骤，真的是思路清晰，简单易懂，让人很容易接受。 而严鹏飞也把这个例题抄了下来，他一直以来逻辑思维不行，自认是数学菜鸡，刚接触初等数论，欧拉定理他初看，还有点不懂欧拉函数的意思，心里就有点受伤，你告诉我这特么是初等数论？ 如果初等数论都学不会，那他是什么，这样一想顿时压力山大。 当然，现在看来是还好，暂时能理解。 课堂上，林雪芮看着同学，欧拉定理内容不深，第一节课她有意放缓了速度，暂时大部分同学还跟得上她的节奏。 以后肯定不能这样拖沓，毕竟都是竞赛生，肯定会加快节奏。 林雪芮想听同学的想法：“这道题做完，同学们有什么想法？” 底下有一部分同学又照惯例吹起来： “教练，没什么想法，就是觉得欧拉大佬牛逼。” “柯西、高斯这些大佬都牛逼，瑟瑟发抖。” “不不，我觉得欧拉这货，怎么就这么烦人呢……” 吐槽了一阵，同学很快安静下来，听教练怎么说。 林雪芮笑了笑，没听到她听到的话，说：“这个定理中的欧拉函数求解有一个通式，遇到不懂的，钻研下去，课后请大家自己去搞清楚。” “初等数论四大定理具体又是什么，以后我会陆续讲述，然后感兴趣的同学，也可以先打开《初等数论》看，图书馆有许多数论书，可以去借来看看。” “今天我先讲讲，学数论你们应该了解的知识。” “数学有两个主干，一个代数，研究数量关系，有序思维主导，一个是几何，研究空间形式，视觉思维占主导。” “然后经典几何学已经没人研究了，因为所有问题全部被解决了。而数论是数学最纯粹的分支，最开始被称为算术，还留了一些世界性难题等你们来解决。” “数论，是研究整数的性质，被称为数学女王。高斯把数论称作数学中的皇冠，这是最深奥的数学领域。” “数论里，许多定理看起来很简单，但是证明起来无比困难，比如大家所熟知的哥德巴赫猜想，是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和？至今未被解决。这是天才才敢踏入的领域，很多拉轰的数学家都在这个领域撞得头破血流。” “数论来自生活，人类在实际生活过程中，提炼出算术，诞生了整数和加减乘除四则运算概念。有了乘法的概念后，人类发现在整数中，所有数都可以用素数合成，所以整数基本元素是素数，也叫作质数，2、3、5、7、11、13……数论很多理论，全部是在研究素数。” “数论，一度被当作最没有用的数学学问，纯粹的数学，对生活生产一点用也没有，但是到了现在，数论成为了现代密码学的基础之一。” “二战之前，相对论和数论一样被人叫作清白学问，就是说对战争没有什么用，对将来也没有用，然后爱因斯坦搞出原子弹，让说这话的人哑火了。数论演变的密码学问，让想要破解密码的人怀疑人生，一定程度上改变了二战。 “后来的海湾战争，甚至被称为数学战争。” “数论和密码什么关系？密码需要不对称性，素数正好满足这个条件：两个素数很容易得到乘积，但是知道乘积，你很难分解成素数。复杂的RSA密码，计算机也破解不了。大家要感谢银行卡密码中拆不开的超大素数。” “人类至今能找到最大素数是梅森素数，能找到多大的素数，可以检验一个国家计算机水平。” …… 林雪芮讲了很多数论的常识，还说了数论中的著名猜想，至今没有被攻破。 同学们听得心弦动荡，升起豪情壮志，想要解决数论中的几大猜想。 说到数论，最著名的当然是几大猜想，这是数学皇冠上的明珠。 ●哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和? ●孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数。 ●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数。 ●是否存在无穷多的梅森素数。(指形如2^P-1的正整数是素数，称为梅森素数) ●费马猜想，现已被证明，费马猜想成为费马大定理。 ●黎曼猜想。 李轩也为这些世界性难题着迷，特别是黎曼猜想，极考验人的脑力和想象力。 当今数学界最重要最期待被解决的难题——黎曼猜想认为，所有素数都可以表示为一个函数。 其实在几百年前，包括欧拉等数学家，就开始费力在寻找素数的通项公式，然而后人也终于找出了素数的通项公式，却都有很大局限。 黎曼猜想中，提到的函数最具有普适意义。 黎曼，他的思想领先和他同时代数学家太多，当时他发表的几页论文，揭露了素数分布的奥秘，但是文字过于简洁，还写了证明从略。 对他来说，简单可证，显而易见，但这一个证明从略，让后世数学家集体懵逼，花费几十年努力才补全，甚至他的有些结论，比如黎曼猜想，是怎么证明到现在还是空白的。 类似的例子还有，费马写下费马猜想，说：“我发现一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来，”基本是费马把错误证明当作正确证明了。 不过和费马不一样，黎曼留下研究手稿，证明了他许多结论他是证明过的，就是这个黎曼猜想证明，他没时间去搞，他要研究黎曼几何等其他工作，就在论文写到：这个证明工作就交给你们了。 然后就没有然后了。 到现在数学家还处于苦苦思索的状态，无数次尝试证明黎曼猜想，无数次撞得头破血流。 而现在很多论文，都是依照黎曼猜想正确建立起来。 只要有人能够证明黎曼猜想，成百上千的结论就可以上升为定理，从这个方面上来说，哥德巴赫猜想重要性远不如黎曼猜想。 这一节课下课后，林雪芮走后，底下很多学生聚在一块，兴致冲冲地议论： “我感觉数学真特么热血，我以后要报数学系，看看能不能证明出哥德巴赫猜想。” “我就很奇怪，这些猜想有那么难证明吗？我感觉孪生素数猜想，看起来挺简单的。” “看起来简单，证明复杂。” “其他猜想能看懂，就黎曼猜想看不懂是什么意思，有人懂黎曼猜想在说什么玩意吗？” 梁智慧听了也摇头，皱眉说：“我有找大学书来看，牛顿和莱布尼兹的微积分我看得懂，习题懂做，阿瑟凯利的线性代数也还行，课后习题也能做，但是黎曼几何，说实话，那本教材我整整看了三遍，完全不理解他在说什么，没有一道作业懂得做。” 严鹏飞微积分也没整不明白，直接建议：“智慧，听我一句劝，别看黎曼几何了，会疯，黎曼这人的脑子有问题，让爱因斯坦自己来都不定能搞出这种数学，也只有爱因斯坦这种猛人，才能看懂黎曼在说什么。” 【PS:说明一下，这个时空的历史文科人物架空，理科重要人物名字和我们时空重合，这是便于大家理解。其实应该全部架空，或者干脆背景就在我们这个时空，但是这样写，后面出现文科部分如歌曲、文章，会很不好写，毕竟作者是个菜逼，体谅一下。文中出现的数学和物理相关知识当作趣味了解。】